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一維細胞自動機,與其規則(二)

  在上個單元,我們初步瞭解了一維細胞自動機的規則表示法,在這個單元,我們要進一步討論 Nb=5 與 Nb=7 的規則類型 ,不過我們已經無法只用八組規則來描述它們了。

  當 Nb=5 時,我們考慮的是:細胞只有兩個狀態,而且影響細胞下一次疊代的因素有左邊兩個鄰居、 自己與右邊兩個鄰居, 總共有五個 。在這裡舉一個例子 Bermuda Triangle Rule,其鄰居們的狀態如何決定(中央)細胞下一代的狀態,係表列如下:

Bermuda Triangle Rule
Nb=5,States=2,RuleBinary=00111000111001000100000100111101 or RuleHex=BC82271C
規則編號 1 2 3 4 5 6 7 8
疊代前的細胞狀態 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111
疊代後的細胞狀態 0 0 1 1 1 0 0 0

規則編號 9 10 11 12 13 14 15 16
疊代前的細胞狀態 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111
疊代後的細胞狀態 1 1 1 0 0 1 0 0

規則編號 17 18 19 20 21 22 23 24
疊代前的細胞狀態 10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111
疊代後的細胞狀態 0 1 0 0 0 0 0 1

規則編號 25 26 27 28 29 30 31 32
疊代前的細胞狀態 11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111
疊代後的細胞狀態 0 0 1 1 1 1 0 1

   Bermuda Triangle Rule 雖然以百慕達三角洲為名, 但是所疊代出來的圖形類似於立體的金字塔,你會發現金字塔各面有不一樣的陰影效果,如下面的 Java Applet 所顯示的,你可以「同時」看見 300 次疊代的過程。但是,這個圖形通常會以一個或幾個(反相)滑翔機的斜對移動來作結局,我們可以說這個規則疊代到最後,圖形不會趨向於混沌的狀況。

  從上面的列表可以得知,當 Nb=5 且 States=2 時,規則數目=32=2x2x2x2x2=25。也就是說如果用 RuleBinary 來表示規則的話,將會有一長串的數字, 所以 Wolfram 才會建議使用十六進位法的「Hex Wolfram's Code」,這樣便可以把那一長串數字縮減到只剩下四分之一,但是當 Nb=7 的時候 ,將會有 128=27 組規則數目, 即使用 RuleHex 來表示也需要 32 個數字。這些排列組合的數量都太龐大了, 我們無法一一列表舉例 。而 Nb=5 且 States=2 的條件,有多少個規則種類呢? 總共有 232=4,294,967,296 種,掐指算一算有千萬種以上的規則變化,更不用說是 Nb=7 的條件 ,總共有 2128=4,294,967,2964 種規則變化。 如果細胞的可能狀態不只是兩個,那麼光是 Nb=5 的狀況就已經討論不完了。

  介紹了「典型」的一維細胞自動機的規則,在下個單元裡,筆者將介紹另一套規則定義,這套規則定義你會感到比較熟悉,因為它的表達法很接近生命遊戲的一般規則。



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