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Koch Curve
　　 瑞典數學家 Helge von Koch 於 1904 年介紹了他的曲線，由於這種曲線的片段很像雪花的結晶體，所以又叫做 Snowflake Curve。von Koch 一開始在數學界並不是有名氣的數學家，但是他所提出的曲線卻是典型的碎形中最常被研究與討論的，在這個過程中，數學家們發展出了一套繪製碎形的主要方法 －－ Initiators and Generators，從這裡開始了碎形圖形的多樣性。你會看見許多類似於 Koch curve 的曲線，這些曲線都是由相互接合的線段所組成，它們的複雜性就像是大自然中的海岸線那般，在折疊中，還包含著更細膩的折疊。

　　產生 Koch Curve 的方法如下：
　　第零步驟：畫出一條線段（假設線段長度 L＝1）
　　第一步驟：將這條線段分成三等份，然後以中間的線段為底邊，製作一個三邊等長的三角
　　　　　　　形，然後拿掉這個正三角形的底邊（此時，L＝(4/3)1）
　　第二步驟：將曲線中的每一個線段都重複第一步驟（此時，L＝(4/3)2）
　　第三步驟：重複第二步驟（此時，L＝(4/3)3）
　　接下來的步驟，即重複地疊代下去（此時，L＝(4/3)n）………………
　




　　在上面的 Java Applet 中，你可以以滑鼠點按畫面以顯示每一個步驟的結果。在第四步驟的圖形裡，你可以清楚的看見 Koch Curve 有四個相同的組成結構，但是再仔細觀察會發現，其實有十六個相同的小結構，而實際上第四步驟的 Koch Curve 是由有六十四個相同的小結構所組成的，當重複無限次的疊代步驟之後，你會發現任一個小結構放大之後都會與其他的結構相似，而且此時的 Koch Curve 是連續卻不可微分的（無法求其任一點的唯一切線），雖然圖形是限定在一個等腰三角形的狹幅區域之內，但是它的線段總長度卻是無限長。

　　如果我們把三段 Koch Curve接合成一個正三角形，便會形成雪花的結晶體，，如下面左邊的 Java Applet 所示我們稱作 Koch Snowflake。如果我們顛倒曲線彎曲的方向，那麼所形成的圖形如下面右邊的 Java Applet 所示，我們稱作 Koch Antisnowflake。
　

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