碎形幾何學之父 Benoit Mandelbrot 於 1967 年 ， 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文中 ，如此地發問：「英國的海岸線有多長？」他之所以會想到海岸線的問題，靈感來自於英國數學家
Lewis Fry Richardson 遺稿中一篇晦澀的論文，其中他所摸索的一大堆爭議性主題，後來成為混沌理論（Chaos Theory）的一部份
。 當初 Lewis Fry Richardson 為了想要瞭解一些國家鋸齒形的海岸線長度，所以翻閱西班牙、葡萄牙、比利時與荷蘭的百科全書，他發現書上在估計同一個國家的海岸線長度時，竟然有百分之二十的誤差，Lewis
Fry Richardson 指出 ：這種誤差是因為他們使用不同長度的量尺所導致的。他同時發現海岸線長度 L 與測量尺度 s 的關係如下，其中，值得注意的是
log(1/s) 與 log(L) 呈線性關係，其斜率為一定值 d：
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回到 Benoit Mandelbrot 先前所提出的問題。如果我們試圖實際測量英國海岸線的長度，我們可以拿著兩腳器，先撐開一碼長，然後沿著英國的海岸線行進，會測量出某個海岸線長度值，其中，兩腳器會忽略小於一碼的海岸線扭曲與轉折的長度，但是，如果我們將兩腳器的距離調小，再次測量海岸線，那麼必定會得到比原先所測量的更長的海岸線長度，那是因為，較小尺寸的量度可以掌握更多海岸線的細節，我們可以這樣推論：用越小的量尺來量度海岸線長度，所量出的結果會越長
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Benoit Mandelbrot 說 ，其實任何海岸線的長度在某個意義下皆為無限長 ，或者說，海岸線的長度是依量尺的長短而定。實際量度英國的海岸線實在是太麻煩了，我們可以嘗試用不同的量尺去測量
Koch Curve 的長度 ， Koch Curve 同樣具有海岸線般的扭曲與轉折。 如下圖所示，當我們用越長的量尺去測量 Koch Curve
的長度，就會有越多的細節無法量到，而當 s 趨近於無限小時，L 顯然也會趨近於無限長 ，但是，1/s 與 L 並不是正比關係， 而是呈現指數關係
，如左下方的關係圖所示。其中，值得注意的是， L 相當於量尺的測量次數（我們定義做 N(s)）乘上量尺的長度，可以寫成
L=N(s)*s。
我們必須採取 Lewis Fry Richardson 的分析方式，才能得到這兩個變數之間的真正關聯，如右上方的關係圖所示，我們會發現 Koch
Curve 與海岸線一樣 log(1/s) 正比於 log(L) ， 而圖中直線的斜率就是 d，其中 d 等於 (log(4)/log(3))-1≒0.262，顯然，
d 是 Koch Curve 的「不變量」，當 Koch Curve 等比例地放大或縮小時 ，關係圖中的直線雖然會平移 ， 但是直線的斜率還是不變的。相較之下，Koch
Curve 到底有多長於是變得不重要，我們關心的是 d 所代表的意義。
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為了比較出 d 的意義，我們舉一個最簡單的例子，我們用不同的量尺 s 來測量某個線段的長度 L ，其中 ，L 等於 N(s)*s。如左圖所示，直線的斜率
d 等於 0 ，不管量尺的尺度是多少，都能量得同樣的線段長。
如果，我們同樣去測量一個空心圓的圓周，收集許多組的數據之後，我們同樣會發現，直線的斜率 d 會趨近於 0 ，同樣的結果也會發生在測量空心正方形的邊長，這代表什麼意義？這些，被我們認為是最簡單的一維幾何形狀的
d 值都是 0，或幾乎等於 0。 |
讓我們看看簡單的二維幾何體的例子，你會得到更多的發現與靈感。我們準備用量尺所圍成的正方形邊界 s ，來測量實心正方形的內在長度 L，其中，
L 同樣等於 N(s)*s ，很顯然的，實心正方形的內在長度是無限長，除非 s 是無限小，否則是無法準確地測量實心正方形的內在長度的。從下面的
log/log 關係圖所示，直線的斜率 d 等於 1。
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| 不同幾何形體的 d 值比較表 |
| 幾何形體 |
d 值 |
d 值 + 1 |
拓撲學維度 |
| 英國海岸線 |
0.24 |
1.24 |
????? |
| Koch Curve |
0.26 |
1.26 |
????? |
| 線段 |
0 |
1 |
1 |
| 空心圓 |
0 |
1 |
1 |
| 空心正方形 |
0 |
1 |
1 |
| 實心正方形 |
1 |
2 |
2 |
| 實心正立方體 |
2 |
3 |
3 |
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如果，我們用量尺所圍成的立方體邊界 s ，來測量實心正立方體的內在長度 L， 我們會發現 log/log 關係圖中的直線斜率等於 2。我們把這些例子的
d 值與拓撲學維度列表於上，你是否看出了其中的端倪？個別幾何形體的「不變量」 d 值代表什麼意義呢？我們將會在下個單元看見，碎形幾何學之父 Benoit
Mandelbrot 如何來詮釋 d 值的意義。 |
