在上個單元裡，我們介紹了如何以不同的量尺 s 來測量幾何形體的長度 L，而其中 log(1/s) 與 log(L) 呈線性關係 ，所畫出來的直線斜率為
d，其中 L 可以寫成 N(s)*s 。在那些例子中，我們也發現了，d 值 +1 之後，會與拓撲學維度「一致」， 這只是巧合嗎？Benoit Mandelbrot
認為當初 Lewis Fry Richardson 所專注的測量誤差問題並不是關鍵所在，他將注意力轉向 d 值的意義與 L= N(s)*s 這個式子，而且用數學證明指出上述的一致性並非巧合，他是這樣證明的：
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在右邊的證明中，原本是 log(1/s) 與 log(L) 的線性關係，變成了 log(1/s) 與 log(N(s)) 的線性關係
，而 Ds=d+1 便是該關係的斜率。在應用上，我們通常會調整 s 與被測量幾何形體的大小，讓 k=1，使得：
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還記得上個單元我們對於 N(s) 的定義嗎？N(s) 的定義是量尺 s 的測量次數。讓我們先來看看，Ds 應用於 Koch Curve
的例子，然後，我們再來詮釋 s、N(s) 與 Ds 的意涵：
以量尺 s=1/3 與 1/9 來測量 Koch Curve ，分別會得到 4 個與 16 個測量次數，我們也可以換另一種方式來詮釋， 如果我們把
Koch Curve 縮小 1/3 與 1/9 ，用這個縮小的 Koch Curve 去測量原本的 Koch Curve ，分別會得到 4 個與
16 個相似形。 於是 ，我們可以將 s 理解成原幾何形體的縮小比例 ， 而 N(s) 是指 ：以縮小 s 的幾何形體為測量單位時，所得到的自我相似形數目。至於
Ds=d+1，很顯然的，它是屬於某種維度的觀念， 於是 Mandelbrot 根據 N(s) 的意義，把 Ds 稱做「自我相似維度（Self-Similarity
Dimension）」， 這種詮釋擺脫了我們對於以長度測量長度的迷思，進而推廣成以縮小版的幾何形體測量原來自身的方式。 讓我們再來看看，新的詮釋如何應用於最簡單的一維線段、二維（實心）正方形，與三維（實心）立方體：
我們還可以用另一種方式來詮釋「自我相似維度」。我們以 ε 代表幾何形體的放大倍率，而 Nm(ε) 代表放大 ε 倍的幾何形體，是由多少個原來的幾何形體所組成。其實，ε
就等於 1/s ，而 N(s) 等於 Nm(ε)，Ds 可以改寫成 log(Nm(ε))/log(ε)。讓我們看看幾個例子：
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我們要特別留意 Peano Curve 的「自我相似維度」等於 2，這就是為什麼 Peano Curve 疊代無限次之後能夠填滿一個平面區域的原因。這樣的性質，我們也能在
Hilbert Curve 找到。 |
我們介紹了「自我相似維度」的三種理解方式 ，它們都是建基在當初 Lewis Fry Richardson 對於海岸線長度測量與量尺之關係的發現，後來
Mandelbrot 從其中發展出全新的幾何學維度定義，他認為，歐幾里德式的長度、深度與厚度的測量根本無法掌握那些擁有細膩紋路的幾何形體的本質，我們必須換另一種方式來描述某一個碎形不同於另一個碎形的關鍵所在。
我們之所以稱 Benoit Mandelbrot 是碎形幾何學之父，是因為他抓住了碎形的精髓，並指出碎形的維度是分數的，而不是整數的，這雖然有違「常理」，卻是最「自然」不過的。 |
