複雜性科學 - 複雜適應性系統 思辨 部落格 信箱 阿特拉斯

碎形 Fractal
吳文成 2003, 6, 28(暫定)
2007, 2, 24(更新)
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  約七O年代左右,數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文「英國的海岸線有多長?」中,發展出了新的維度觀念 ── 幾何學:碎形。

  三十年間,碎形幾何,與混沌理論,複雜性科學共同匯合,試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象,與大自然的複雜結構,把觸角伸入,除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學,乃至於天文學所談及的星體分布。

  搖身一變,碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法,筆者大致歸納如下:

    ◆碎形具有分數維度:不同於整數維度的一維線段,二維矩形,碎形所
       具有的維度是分數的,例如無窮擴張三分之四的卡區曲線,其維
       度是 1.2618。

    ◆碎形具有尺度無關性:對於「同一個」碎形結構,以不同大小的量尺
       來量度「可觀察的區域」,碎形會具有一致的碎形維度。例如,
       如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set,我們會發現圖形
       的複雜度,或摺疊程度,或粗糙程度並未因此而改變。

    ◆碎形具有自我模仿性:對於「同一個」碎形結構,自我模仿就是尺度
       一層一層縮小的結構重複性,它們不僅在越來越小的尺度裡重複
       細節,而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸,造成某種循環
       重現的複雜現象。    

    ◆碎形代表有限區域的無限結構:例如,卡區的雪花曲線,是一條無限
       長,而結構不斷重複的線段,被限制在最初三角形的正圓區域內
       。例如,原本是一固定線段的 Cantor Set,最後變成一系列數量
       無窮,但總長度卻為零的點集合。

    ◆碎形隱含一種整體性:我們可以從某一尺度的碎形,來推知另一尺度
       的「同一個」碎形的大致樣子,這意味著一種整體性,小細節的
       傾向可以透露大細節的傾向,大細節的絲毫改變可以令所有小細
       節全面改觀,再造成整個碎形圖形的變化。

    ◆碎形是觀察手段的相對結果:回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海
       岸線有多長?」,作為碎形結構的海岸線本身,在某種意義下是
       無限長,但是對於不同的觀察者而言,海岸線長度卻端視其手中
       的量尺(不同的觀察手段)而定,Mandelbrot 說:「數據結果是
       依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念,才促使他發展出
       不同於過去科學家的維度量度的新理論。

    ◆碎形是非線性動力過程的結果:大自然的外貌、結構是非線性動力過
       程所造成的結果,我們也只能在非線性現象中,才能找到碎形的
       蹤跡,於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。

  
  ├─ 典型的碎形
    ├─ Pythagorean Trees
    ├─ Cantor Set
    ├─ Sierpinski Gasket And Carpet
    ├─ Koch Curve
    ├─ Cesaro Curve
    ├─ Levy Curve
    ├─ Dragon Curve
    ├─ Peano Curve
    ├─ Hilbert Curve
    ├─ H-Fractal
    └─ Tree Fractal
  
  ├─ 繪製碎形的方法
    ├─ 起始元與生成元疊代法(Initiator and Generator Iteration Method)
      ├─ 起始元與生成元疊代法
      ├─ L-System Method(1)
      ├─ L-System Method(2)
      └─ L-Systems Java Applet
    ├─ 幾何變換疊代函數系統(Deterministic Iterated Function System)
      ├─ 平面幾何變換
      ├─ 幾何變換疊代函數系統(1)
      ├─ 幾何變換疊代函數系統(2)
      └─ MRCM 與 貼片理論(MRCM and Collage Theorem)
    ├─ 隨機疊代函數系統(Random Iterated Function Systems)
      ├─ Chaos Game
      ├─ 隨機疊代函數系統(1)
      ├─ 隨機疊代函數系統(2)
      └─ Random IFS Java Applet
    └─ 規範疊代函數系統(Formula Iterated Function Systems)
        ├─ 規範疊代函數系統(1)
      ├─ 規範疊代函數系統(2)
      ├─ 混沌與奇異吸子(1)(Strange Attractors 1)
      ├─ 混沌與奇異吸子(2)(Strange Attractors 2)
      └─ 混沌與奇異吸子(3)(Strange Attractors 3)
  
  ├─ 碎形維度
    ├─ 英國的海岸線有多長?
    ├─ 自我相似維度(Self-Similarity Dimension)
    ├─ 盒子維度(Box-Counting Dimension)
    ├─ Hausdorff 維度(Hausdorff Dimension)
    └─ 碎形維度的進階計算
  
  ├─ Mandelbrot Set and Julia Sets
    ├─ 複數與其疊代
    ├─ Julia Sets
      ├─ 吸引流域(1)(Basin of Attraction_1)
      ├─ 吸引流域(2)(Basin of Attraction_2)
      ├─ 閥值半徑與束縛圍集(Threshold Radius and Encirclement)
      ├─ Julia Sets Family
      ├─ Julia Sets 的性質
      └─ Julia Sets 與 Chaos Game
    └─ Mandelbrot Set
        ├─ Mandelbrot Set 的定義
        ├─ Mandelbrot Set 的性質
        ├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係(1)
        ├─ Mandelbrot Set 與 Julia Sets 的關係(2)
        ├─ Mandelbrot Set 與 PI
        └─ 其他形式的 Mandelbrot Set
  
  ├─ 隨機的碎形結構(Random Fractals)
    ├─ 從自然界的碎形結構談起
    ├─ 自我相似的隨機性分布(Self-Similar Distributions)
    ├─ L-System 的隨機型模擬
    ├─ 布朗運動(Brownian Motion)
    └─ Diffusion-Limited Aggregation
  
  ├─ 碎形幾何的深入探討
    ├─ 碎形幾何的哲學意義
    ├─ 碎形、混沌與動力學(1)
    ├─ 碎形、混沌與動力學(2)
    └─ 碎形與藝術的相遇
  
  ├─ 系列主題
    ├─ 談碎形與藝術:自我相似之結構套嵌 NEW
    ├─ 談碎形與藝術:絕美 Mandelbrot Set NEW
    ├─ 談碎形與藝術:她的終點是秩序美? NEW
    ├─ 碎形幾何內涵與 Logo 程式繪圖 NEW
    └─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序
  
  ├─ 相關論文
    ├─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序(1)NEW
    ├─ Logo 小海龜實現碎形繪圖程序(2)NEW
    └─ 回應〈殘形宇宙學足以推翻大霹靂學說!?〉一文
  
  └─ 相關連結與資源



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