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Chaos Game
  在介紹「 隨機疊代方程式法(Random IFS Iteration Method)」之前,我們必須先介紹著名的 Choas Game , 這個遊戲代表著碎形研究的另一個重要發展。我們曾經在前幾個單元介紹好幾種繪製 Sierpinski Gasket 的方式,在這裡,我們要用更簡單的方法來繪製 Sierpinski Gasket:

●第零步驟:在平面上繪製三角形的三個頂點 V1( 0, 0 )、V2( 1, 0 ) 與 V3( 0.5, 1 ),在任意處再
      繪製另一個點,我們稱作疊代起始點(P0
●第一步驟:隨機選擇三個頂點的其中一個,取此頂點與疊代起始點的中點,此中點我們稱作
      新疊代點(P1
●第二步驟:隨機選擇三個頂點的其中一個,取此頂點與前次疊代點的中點,以得到新疊代點
●第三步驟:反覆重複第二步驟無限次,並描繪出新疊代點(前五十次可以不必描繪疊代點)

  你可以在筆者所寫的 Java Applet 中,依序看見以上的步驟所描繪出來的圖形。裡面,筆者展示了幾個 Chaos Game 的範例 。在選單選擇範例之後,你可以按下「Step Iterate」鈕以顯示單步的疊代結果,其中你會看見,有兩個箭頭分別指向新疊代點與隨機選擇的頂點。同時,我們定義 r 等於新疊代點到頂點之距離與原疊代點到頂點之距離的比值。


  你也可以按下「Full Iterate」鈕以顯示疊代上萬次以上的結果。另外,你還可以用滑鼠拖曳畫面中的各頂點與疊代起始點,自己嘗試觀察不同形狀所疊代出來的圖案。

  如果我們定義 n 為頂點個數,那麼各個範例的規則,我們可以這樣簡寫表示為 Rule=( n, r ) 。各個範例的規則簡寫如下:

  Sierpinski Gasket=( 3, 1/2 )
  Sierpinski Carpet=( 8, 1/3 )
  Sierpinski Pentagon=( 5, 3/8 )
  Sierpinski Hexagon=( 6, 1/3 )
  Cantor Square=( 4, 1/3 )
  Box Fractal=( 5, 1/3 )

  我們還必須定義各個頂點的座標,這才算是完整的規則描述。
 


  這樣簡單的遊戲--反覆取中點與畫點的過程--如何能夠產生如 Sierpinski Gasket 的碎形圖案呢?我們要一步步地推敲其中的原理。上述步驟的規則可以寫成下面的三個式子:

    Pn+1=( Pn + V1 ) / 2 ( Xn+1 , Yn+1 )=( 0.5*Xn , 0.5*Yn )
  或 Pn+1=( Pn + V2 ) / 2 ( Xn+1 , Yn+1 )=( 0.5*Xn + 0.5 , 0.5*Yn )
  或 Pn+1=( Pn + V3 ) / 2 ( Xn+1 , Yn+1 )=( 0.5*Xn + 0.25 , 0.5*Yn + 0.5 )

  下一個新疊代點於是隨機地從這三個式子的其中之一產生出來,如果我們將這三個式子寫成特定的格式--疊代方程組,我們會發現疊代方程組中的係數,似乎與之前我們以「幾何變換疊代法」繪製 Sierpinski Gasket 的幾何變換參數有些類似。它們之間的關聯性,如下所示:


  Xn+1 Yn+1
項目 Xn 的係數 Yn 的係數 偏移量 Xn 的係數 Yn 的係數 偏移量
方程組一 0.5 0.0 0.0 0.0 0.5 0.0
方程組二 0.5 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0
方程組三 0.5 0.0 0.25 0.0 0.5 0.5
真實涵義 r*cos(θ) -s*sin(ψ) e r*sin(θ) s*cos(ψ) f

  從上面的疊代方程組、幾何變換矩陣與表格,我們得知 : 由 Chaos Game 規則所寫成的疊代方程式其實就是幾何變換的演算式。從上面表格,我們可以進一步地求出每一個疊代方程組中相對應的 r、s、θ、ψ、e 與 f 的值 ,如下面的表格所示, 這些值與之前我們以「幾何變換疊代法」繪製 Sierpinski Gasket 的幾何變換參數,是完全一致的。

從 Chaos Game 疊代方程組的係數,可以得出:
幾何變換參數 r s θ ψ e f
方程組一 0.5 0.5 0 0
方程組二 0.5 0.5 0.5 0
方程組三 0.5 0.5 0.25 0.5
 

  不過,這中間還有一個問題,那就是我們要如何解釋 Chaos Game 規則中的隨機性,與「
幾何變換疊代法」的關聯?我們可以粗略地用類比的方式嘗試化解這個問題:以「幾何變換疊代法」繪製 Sierpinski Gasket 的第二步驟依序有 T1、T2 與 T3 三個幾何變換 , 如果我們將這三個變換的順序隨機打亂,是否同樣可以繪製出一模一樣的 Sierpinski Gasket?顯然這個答案是肯定的。我們會發現「幾何變換疊代法」中關於幾何變換的步驟 , 可以具有與 Chaos Game 類似的隨機性質 。 在這個單元,筆者花了不少篇幅介紹 Chaos Game 與「幾何變換疊代法」的密切關係,在下個單元,我們將看到這個等價關係的進一步推展。



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