| 對於集合論悖論的不同解決方案 | |||||
| 2003, 5, 31 吳文成
|
|||||
| 我預計要對悖論問題作一系列的討論，討論的順序大概是這樣：之前談了羅素悖論（集合論悖論）如何被表述為邏輯悖論（語形悖論，以性質悖論為代表）與語義悖論，而這篇文章要談的是，二十世紀初數學領域對於集合論悖論的不同解決方案，然後在另外的兩篇文章中，再來談談哲學家們如何解決語義悖論，在這些解決方案都不能令人滿意的情況下，我們來談不同類型的悖論的共同特徵與根源，這自然也就是在談論理性自身的性質了，在人們遭遇悖論的過程當中，也揭示了理性認識的困境。 這一系列的討論將是工程浩大的研究。 | |||||
|
| |||||
|
先前〈從羅素悖論看集合論悖論、邏輯悖論與語義悖論〉一文中記述了康托悖論與羅素悖論，我們可以藉著剖析這兩個集合論悖論，來看看數學家如何開展他們各自不同的悖論解決方案。康托悖論的基本概念是這樣，令Ｑ是所有集合的集合（我們稱作大全集），令Ｐ是Ｑ的羃集（Ｐ是由Ｑ的所有子集合所組成的集合），根據羃集的定義，得知任一集合屬於該集合的羃集，可以推出Ｑ屬於Ｐ；根據大全集的定義，得知任一集合都屬於大全集，可以推出Ｐ屬於Ｑ。這兩個相互矛盾的命題從而構成了悖論。顯而易見地，康托悖論的根據有兩個：一是存在有大全集，即存在著這樣的集合，它以所有的集合為元素。二是任何的集合都有羃集，這一點也就是說，任一集合都可以擴充到一個以自身的所有子集為元素的 更大的集合。放棄掉這兩點根據的任何一點，均可以使得康托悖論不再成立。 我們再來看看羅素悖論，令Ｓ（我們稱作羅素集）是所有不以自身為元素的集合所構成的一個集合。具有某一性質的對象所構成的集合沒有該性質，我們便說這樣的集合是不以自身為元素的集合，例如「湯匙的集合」本身不是湯匙，「 我需要澄清一下，在集合論中「屬於（ -------------------------------------------------------------------------------- 指定段落，暫時被管理者隱藏 -------------------------------------------------------------------------------- |
|||||
|
）」與「包含於（
）」是不同的觀念。屬於關係的應用在於考慮，某個元素（或某個集合作為元素）是否是構成某一特定集合的元素之一，或者說，某個元素（或某個集合作為元素）的性質是否是構成某一特定集合所要求的性質，如果是，那麼我們說該元素屬於那一特定集合，它表示為某個對象與某一類具有特定共同性質的對象們的從屬關係。而包含關係是這樣，對於兩個集合Ａ與Ｂ，如果集合Ａ中的任一元素都是集合Ｂ的元素，我們就說集合Ａ包含於集合Ｂ，或說集合Ｂ包含集合Ａ，也說集合Ａ是集合Ｂ的子集。按照這些定義，任一集合必定是自身包含於自身，但是考慮該集合作為一個個體（元素）所具有的性質卻不一定符合構成該集合所要求的性質。